题目内容
已知点（
，2）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜
）的图象上，对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为
．
（1）求函数f（x）的解析式及对称轴方程；
（2）设A={x|
≤x≤
}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
| 5π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）求函数f（x）的解析式及对称轴方程；
（2）设A={x|
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,集合的包含关系判断及应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再把点（
，2）代入函数解析式结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求．再由使函数取得最值的x值得到对称轴方程；
（2）由|f（x）-m|＜1得到f（x）-1＜m＜f（x）+1，再由集合A中x的范围求出函数f（x）的最大值和最小值，则m的取值范围可求．
| 5π |
| 12 |
（2）由|f（x）-m|＜1得到f（x）-1＜m＜f（x）+1，再由集合A中x的范围求出函数f（x）的最大值和最小值，则m的取值范围可求．
解答：
解：（1）对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为
．
∴
=
，则T=π，
∴ω=
=
=2．
又点（
，2）在函数f（x）的图象上，
∴f(
)=2sin(2×
+φ)=2，即sin(
+φ)=1．
∵0＜|φ|＜
，
∴φ=-
．
∴f（x）=2sin（2x-
）．
由2x-
=kπ+
，得x=
+
，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x=
+
，k∈Z；
（2）由|f（x）-m|＜1，得：-1＜f（x）-m＜1，即f（x）-1＜m＜f（x）+1，
∵A⊆B，
∴当
≤x≤
时，f（x）-1＜m＜f（x）+1恒成立．
∴[f（x）-1]max＜m＜[f（x）+1]min，
又
≤x≤
时，f(x)max=f(
)=2，f(x)min=f(
)=1．
∴m∈（1，2）．
∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为
| π |
| 2 |
∴
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴ω=
| 2π |
| T |
| 2π |
| π |
又点（
| 5π |
| 12 |
∴f(
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
∵0＜|φ|＜
| π |
| 2 |
∴φ=-
| π |
| 3 |
∴f（x）=2sin（2x-
| π |
| 3 |
由2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
∴函数f（x）的对称轴方程为x=
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
（2）由|f（x）-m|＜1，得：-1＜f（x）-m＜1，即f（x）-1＜m＜f（x）+1，
∵A⊆B，
∴当
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴[f（x）-1]max＜m＜[f（x）+1]min，
又
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 4 |
∴m∈（1，2）．
点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，关键是转化思想的运用，考查了集合间的包含关系的运用，对于（2）的求解，正确理解题意是关键，是中档题．
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