Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为2

2

，离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点B为椭圆C的下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（异于上顶点），且AB中点E在直线y=x上，
（ⅰ）求直线AB的方程；
（ⅱ）点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，若直线AP，BP分别交直线y=x与M，N两点，证明：

OM

•

ON

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为2

2

，离心率为

2

2

，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）（ⅰ）求出A的坐标，代入椭圆方程，即可求直线AB的方程；
（ⅱ）确定直线AP、BP的方程与y=x联立，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，即可证明

OM

•

ON

为定值．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为2

2

，离心率为

2

2

，
∴2a=2

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1…（3分）
（2）（i）解：由（1）知B（0，-1），设点E（m，m）．
∵点E为AB中点，∴A（2m，2m+1），
又∵点A在椭圆上，∴

(2m)2

2

+(2m+1)2=1
解得：m=0（舍）或m=-

2

3

，
∴直线AB的方程为：y=-

1

2

x-1．…（8分）
（ii）证明：∵点M、N在y=x上，∴设M（x₁，x₁），N（x₂，x₂），P（x₀，y₀），∴

x02

2

+y02=1，
∵A(-

4

3

，-

1

3

)，∴直线AP的方程为：(y+

1

3

)(x0+

4

3

)=(y0+

1

3

)(x+

4

3

)，
与y=x联立得x1=

1

3

•

x0-4y0

y0-x0-1

，
同理：直线BP的方程为：（y+1）x₀=（y₀+1）x
与y=x联立得x2=

x0

y0-x0+1

，…（10分）
∴

OM

•

ON

=(x1，x1)•(x2，x2)=2x1x2=

2

3

•

x02-4x0y0

(y0-x0+1)•(y0-x0-1)

=

2

3

•

x02-4x0y0

(y0-x0)2-1

=

2

3

•

x02-4x0y0

y02-2x0y0+x02-1

=

2

3

•

x02-4x0y0

1- x02 2 -2x0y0+x02-1

=

4

3

，
∴

OM

•

ON

为定值．                                     …（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．