题目内容
如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N+且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，L，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”．（Ⅰ）求n个不同位置的“旋转和”的和；
（Ⅱ）当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）设n=4m（m∈N+），在如图所示的初始位置将任意m对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．
考点：进行简单的合情推理
专题：综合题,推理和证明
分析：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故可得n个不同位置的“旋转和”的和；
（Ⅱ）求出内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”，当k＜
时，ak+1＜ak，当k＞
时，ak+1＞ak，所以k=
+1时，a
+1最小，即可求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）利用反证法进行证明即可．
（Ⅱ）求出内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”，当k＜
| n+1 |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
（Ⅲ）利用反证法进行证明即可．
解答：
（Ⅰ）解：由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)=
； …（3分）
（Ⅱ）解：设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为ak
则ak+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×kak
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）ak+1-ak
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-
)…（5分）
所以当k＜
时，ak+1＜ak，当k＞
时，ak+1＞ak，所以k=
+1时，a
+1最小
最小值a
+1=1×(
+1)+2×(
+2)+…+
×n+(
+1)×1+…+n×
=n(1+2+3+…+
)+2(12+22+…+
)=
；…（8分）
（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）2-3m，
则有（3m）2-3m≥（2m+1）（4m-1），即m2-5m+1≥0，所以m≥
，
这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）
| n2(n+1)2 |
| 4 |
（Ⅱ）解：设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为ak
则ak+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×kak
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）ak+1-ak
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-
| k+1 |
| 2 |
所以当k＜
| n+1 |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
最小值a
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
=n(1+2+3+…+
| n |
| 2 |
| n2 |
| 4 |
| n(n+2)(5n+2) |
| 24 |
（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）2-3m，
则有（3m）2-3m≥（2m+1）（4m-1），即m2-5m+1≥0，所以m≥
5+
| ||
| 2 |
这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）
点评：本题给出新概念，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法，正确理解、转化题意是关键．
练习册系列答案
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下列命题正确的是（ ）
A、若
| ||||||||
B、若
| ||||||||
C、向量
| ||||||||
| D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 |
如图，已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜