题目内容
【题目】如图，在直四棱柱
中，底面
是平行四边形， 点
，
分别在棱
，
上，且
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】
（1）连接
，
交于
，取
的中点
，连接
，
，先证明平行四边形
，所以
，最后得出结论；
（2）根据题意，以
为原点，以
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．
解：（1）连接，交于，取的中点，连接，，
由
，
，
故
，以且
，
故平行四边形，所以，
根据中位线定理，
，
由
平面
，
平面，
所以
平面，
，
故
平面
；
（2）
，
，
由
，
由
，得
，
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，
，
，
，，
，，
，
，0，，
，，，
，，，
，0，，
设平面
的一个法向量为
，，
，
由
，令
，得
，0，，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
由
，令
，得
，
由
，
所以二面角
为
，正弦值为1．
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【题目】某教师调查了
名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下表格：
男生 | 女生 | 总计 | |
购买数学课外辅导书超过 |
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购买数学课外辅导书不超过 |
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总计 |
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（Ⅰ）根据表格中的数据，是否有
的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关；
（Ⅱ）从购买数学课外辅导书不超过
本的学生中，按照性别分层抽样抽取
人，再从这
人中随机抽取
人询问购买原因，求恰有
名男生被抽到的概率.
附： 
， 
.
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