题目内容
【题目】如图,在直四棱柱中,底面
是矩形,
与
交于点
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析.(2) .
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理,先证明平面
,得到
,进而可证明结论成立;
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系
,求出直线
的方向向量、平面
的一个法向量,求两向量夹角的余弦值,即可得出结果.
(1)证明:因为四棱柱是直四棱柱,所以
平面
,则
.
又,
,
所以平面
,所以
.
因为,
,所以
是正方形,所以
.
又,所以
平面
.
(2)因为四棱柱是直四棱柱,底面
是矩形,所以以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
设平面的法向量为
由,
,可得
,
令,则
,
设直线与平面
所成的角为
,
则.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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