题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)证明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中点
,连接
,通过证明
平面
得出
;
(II)以为原点建立坐标系,求出平面
的法向量
,通过计算
与
的夹角得出
与平面
所成角.
(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,
∵AB=BC,PA=PC,
∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,
∴AC⊥平面PBM,
∵BP平面PBM,
∴AC⊥BP.
(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,
∴∠ABC=120°,
∵AB=BC=1,∴AC,BM
,∴AC⊥CD,
又AC⊥BM,∴BM∥CD.
∵PA=PC,CM
,∴PM
,
∵PB,∴cos∠BMP
,∴∠PMB=120°,
以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系
则A(0,,0),C(0,
,0),P(
,0,
),D(﹣1,
,0),
∴(﹣1,
,0),
(0,
,0),
(
,
,
),
设平面ACP的法向量为(x,y,z),则
,即
,
令x得
(
,0,1),
∴cos,
,
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,
|
.
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