Question

已知点P在直线l：x+y-1=0上，点Q在圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上
（1）过点P作圆C的切线PM、PN，切点为M、N，求cos∠MPN的最小值；
（2）过点P作圆C的切线PM、PN，切点为M、N，求cos∠MPN≤

3

5

时，点P横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意，cos∠MPN最小时，CP最小，此时CP⊥直线l，求出|CP|可得sin

1

2

∠MPN，即可求出cos∠MPN的最小值；
（2）由cos∠MPN≤

3

5

，可得

5

5

≤sin

1

2

∠MPN≤1，即

5

5

≤

1

|CP|

≤1，从而可求点P横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，cos∠MPN最小时，CP最小，此时CP⊥直线l，|CP|=

|2+2-1|

2

=

3 2

2

，
∴sin

1

2

∠MPN=

1

3 2 2

=

2

3

，
∴cos∠MPN的最小值为1-2（sin

1

2

∠MPN）²=1-2×

2

9

=

5

9

；
（2）∵cos∠MPN≤

3

5

，
∴1-2（sin

1

2

∠MPN）²≤

3

5

，
∴

5

5

≤sin

1

2

∠MPN≤1，
∴

5

5

≤

1

|CP|

≤1，
∴1≤|CP|≤

5

，
设P（x，1-x），则1≤（x-2）²+（1-x-2）²≤5，
∴0≤x≤1．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．