Question

1．已知f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在[-1，1]上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）解不等式：f（x）-f（1-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质f（-x）=-f（x），列出方程求出a、b的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．
（3）根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0，即$\frac{0+a}{0+0+1}$=0，∴a=0．
又∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{-1}{2-b}$=-$\frac{1}{2+b}$，
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（2）函数f（x）在[-1，1]上为增函数．
证明如下，
任取-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0．
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为[-1，1]上的增函数．
（3）∵f（x）-f（1-x）＜0，
即f（x）＜f（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x＜1-x}\end{array}\right.$
解得0≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴解集为：{x|0≤x＜$\frac{1}{2}$}

点评 本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．