Question

12．设$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow b$在x轴正方向上的投影为2，且$\overrightarrow b$对应的点在第四象限，则$\overrightarrow b$=（2，14）或$（2，-\frac{2}{7}）$．

Answer 1

分析 根据投影得出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角及$\overrightarrow{b}$的横坐标为2，设$\overrightarrow{b}$=（2，y），利用夹角公式列方程解出y即可．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，设出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴5cosθ=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\overrightarrow{b}$在x轴上的投影为2，设$\overrightarrow{b}$=（2，y），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8+3y，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4{+y}^{2}}$．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8+3y}{5•\sqrt{4{+y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得y=14或y=-$\frac{2}{7}$．
故$\overrightarrow{b}$=（2，14），或 $\overrightarrow{b}$=（2，-$\frac{2}{7}$），
故答案为：（2，14）或（2，-$\frac{2}{7}$）．

点评 本题考查了一个向量在另一个向量上的投影的定义，平面向量的数量积运算，属于中档题．