Question

18．已知（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$的两组解，求（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最大值．

Answer 1

分析 由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：3x²+4my+2m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最大值．

解答 解：方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理，得：3x²+4my+2m²-4=0，
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$的两组解，
∴△=16m²-4×3×（2m²-4）＞0，解得-$\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{3}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+1²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=2（$\frac{16{m}^{2}}{9}$-$\frac{8{m}^{2}-16}{3}$）
=$\frac{96-16{m}^{2}}{9}$，
∴当m=0时，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²取最大值$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查两点间距离的平方的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．