Question

2．过抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F，用点斜式设出直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．

解答 解：根据抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$方程得：焦点坐标F（0，1），
直线AB的斜率为k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
将直线方程代入到抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$中，得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
x₁x₂=-4．
弦长|AB|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+16}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于中档题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．