题目内容
【题目】如图1，在矩形
中，
，
，点
、
分别在线段
、
上，且
，
，现将
沿
折到
的位置，连结
，
，如图2
（1）证明：
；
（2）记平面
与平面
的交线为
.若二面角
为
，求与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)建立坐标系证明
，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明
；
(2)根据公理
得到平面
与平面
的交线，再根据二面角定义得到二面角
的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求
与平面
所成角的正弦值.
解：（1）证明：如图
，线段
交于点
在
中，由
，
，
以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则
，
即
，从而有
，
，
即在图2中有
，，
，
平面
平面
平面，
；
（2）延长
，
交于点
，连接
根据公理得到直线即为，再根据二面角定义得到
.
在平面
内过点作底面垂线，为原点，分别以
、
、及所作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，
取
，得
.
与平面
所成角的正弦值为
.
练习册系列答案
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城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；
（2）若得分不低于85分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有
的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
|
| 合计 | |
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
（3）若此样本中的城市和城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自城市的概率是多少？
（参考公式：
）
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
