Question

3．设y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$求：该曲线在x=$\frac{1}{2}$处的切线方程和法线方程．

Answer 1

分析 先求y=arctanx的导数，运用换元法，可得y′=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，再由复合函数的导数，求得y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$的导数，求出切线的斜率和切点，可得切线的方程，进而得到所求法线的方程．

解答 解：先求y=arctanx的导数，
由y=arctanx，可得x=tany，
$\frac{dx}{dy}$=$\frac{1}{co{s}^{2}y}$=1+tan²y=1+x²，
即有$\frac{dy}{dx}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
则y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$的导数为
y′=$\frac{1}{1+\frac{x}{1-x}}$•$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{1-x}}}$•$\frac{1}{（1-x）^{2}}$，
即有曲线在x=$\frac{1}{2}$处的切线斜率为
$\frac{1}{1+1}$•$\frac{1}{2}$•4=1，
曲线在x=$\frac{1}{2}$处的法线斜率为-1，
切点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$），
可得曲线在x=$\frac{1}{2}$处的切线方程为y-$\frac{π}{4}$=x-$\frac{1}{2}$，
即为x-y-$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{4}$=0，
法线方程为y-$\frac{π}{4}$=-（x-$\frac{1}{2}$），
即为x+y-$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{4}$=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线和法线的方程，正确求导和运用直线的点斜式方程是解题的关键，属于中档题．