Question

14．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=4，E为侧面AA₁B₁B的中心，F为A₁D₁的中点，求下列向量的数量积：
（1）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$；
（2）$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$；
（3）$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{F{C}_{1}}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计算可得所求向量的数量积．

解答 解：如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
即有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（2，4，2），D₁（0，4，2），
E（1，0，1），F（0，2，2），
（1）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（0，4，0）•（-1，4，1）=0×（-1）+4×4+0×1=16；
（2）$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，2，2）•（2，0，2）=-2×2+2×0+2×2=0；
（3）$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（-1，2，1）•（2，2，0）=-1×2+2×2+1×0=2．

点评 本题考查空间向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．