Question

12．求函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的值域．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式、辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°]
=3sin（x+20°）+sin（x+20°）cos60°+cos（x+20°）sin60°
=$\frac{7}{2}$sin（x+20°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+20°）=$\sqrt{13}$[sin（x+20°）•$\frac{7}{2\sqrt{13}}$+cos（x+20°）•$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$]
=$\sqrt{13}$sin[（x+20°）+θ]，
其中，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$，cosθ=$\frac{7}{2\sqrt{13}}$，
故f（x）的值域为[-$\sqrt{13}$ $\sqrt{13}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式、辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．