Question

10．“若f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁，x₂，…，x_n，有$\frac{1}{n}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）++f（x_n^{\;}）}]≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}++{x_n}}}{n}）$”设f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 运用是凸函数的定义，可得$\frac{1}{3}$[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（$\frac{A+B+C}{3}$），计算即可得到所求最大值，及等号成立的条件．

解答 解：由f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，
可得在△ABC中，$\frac{1}{3}$[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（$\frac{A+B+C}{3}$），
即有$\frac{1}{3}$（sinA+sinB+sinC）≤sin$\frac{π}{3}$，
即sinA+sinB+sinC≤3sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
当且仅当A=B=C=$\frac{π}{3}$时，取得等号．
则sinA+sinB+sinC的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．