题目内容
19．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，$\frac{3}{2}$） | B． | （0，$\frac{3}{2}$] | C． | [$\frac{3}{2}$，+∞） | D． | （0，+∞） |
分析 设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f（x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．
解答 解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1-sin2x），
∴f（x）变为：y=t3-at2+a，
则y′=3t2-2at=t（3t-2a），
由y′=0得，t=0或t=$\frac{2a}{3}$，
∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，
∴函数y=t3-at2+a在（0，1]上递减或先减后增，
即$\frac{2a}{3}$＞0，得a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，+∞），
故选：D．
点评 本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换元法的应用，考查化简、变形能力．
练习册系列答案
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