Question

20．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，D为棱BB₁上一点，E是AB的中点．
（1）若D是BB₁的中点，证明：平面ADC₁⊥平面A₁EC；
（2）若平面ADC₁与平面ABC的夹角为45°，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）推导出CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB₁A₁，进而AD⊥CE，再求出AD⊥A₁E，从而AD⊥平面A₁EC，由此能证明平面ADC₁⊥平面A₁EC．
（2）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD的长．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，所以CE⊥平面ABB₁A₁
而AD?平面ABB₁A₁，∴AD⊥CE，
在正方形ABB₁A₁中，由D，E分别是BB₁和AB的中点，知AD⊥A₁E
而A₁E∩CE=E，∴AD⊥平面A₁EC，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面A₁EC．
解：（2）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设 BD=t，则A（-1，0，0），D（1，0，t），
C₁（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{AD}$=（2，0，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
设平面ADC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x+tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=x+\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{4}{\sqrt{3}t}-\frac{1}{\sqrt{3}}$，-$\frac{2}{t}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面ADC₁与平面ABC的夹角为45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2}{t}}{\sqrt{1+（\frac{4}{\sqrt{3}t}-\frac{1}{\sqrt{3}}}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}}}$，解得t=1．
∴BD=t=1．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．