Question

7．已知圆A：（x+1）²+y²=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，且λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求△OPQ面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，则|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设l：y=kx+b，代入椭圆方程，由△=0，求得b²=1+2k²，利用韦达定理求得切点坐标，△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{{b}^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，由λ的取值范围求得k的取值范围，利用函数的单调性即可求得△OPQ面积S的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，
∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，
则b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化简得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵l与椭圆C相切于点M，设M（x₀，y₀），
∴△=8（1+2k²-b²）=0，即b²=1+2k²，…（6分）
且2x₀=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{4kb}{{b}^{2}}$，解得：x₀=-$\frac{2k}{b}$，y₀=-$\frac{2{k}^{2}}{b}$+b=$\frac{1}{b}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{2k}{b}$，$\frac{1}{b}$），
又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，
∴点P的坐标为（-$\frac{b}{k}$，0），点Q的坐标为（0，b），
∴△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{{b}^{2}}{2丨k丨}$，又b²=1+2k²，
∴S=$\frac{1+2{k}^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，…（9分）
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{b}{k}$-$\frac{2k}{b}$，$\frac{1}{b}$），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{2k}{b}$，b-$\frac{1}{b}$），
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$得，$\frac{1}{b}$=λ（b-$\frac{1}{b}$），化简得λ=$\frac{1}{{b}^{2}-1}$=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，
由λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，得k²∈[$\frac{1}{4}$，1]，|k|∈[$\frac{1}{2}$，1]，
又S=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，且函数y=x+$\frac{1}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上单调递减，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上单调递增，
∴当|k|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S取得最小值$\sqrt{2}$，当|k|=$\frac{1}{2}$或1时，S取得最大值$\frac{3}{2}$，
∴△OPQ面积S的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．…（12分）

点评 本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，函数单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．