题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且AA1⊥底面ABC，D为CC1的中点，AB1与A1B相交于点O，连结OD．（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：AB1⊥平面A1BD．
考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）作OE⊥AB，交AB于E，连结CE，由已知条件推导出OECD是长方体，由此能证明OD∥平面ABC．
（2）由ABB1A1是正方形，得A1B ⊥AB1，由已知条件推导出CE⊥平面AA1B，从而OD⊥平面AA1B，进而AB1⊥DO，由此能证明AB1⊥平面A1BD．
（2）由ABB1A1是正方形，得A1B ⊥AB1，由已知条件推导出CE⊥平面AA1B，从而OD⊥平面AA1B，进而AB1⊥DO，由此能证明AB1⊥平面A1BD．
解答：
证明：（1）作OE⊥AB，交AB于E，连结CE，
∵三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且AA1⊥底面ABC，
D为CC1的中点，AB1与A1B相交于点O，
∴O是A1B的中点，E是AB中点，
∴OE
CD，∴OECD是长方体，
∴OD∥CE，
∵OD不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴OD∥平面ABC．
（2）由题意知ABB1A1是正方形，∴A1B ⊥AB1，
由（1）知CE⊥AB，又AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴CE⊥AA1，又AA1∩AB=A，
∴CE⊥平面AA1B，∵DO∥CE，∴OD⊥平面AA1B，
又AB1?平面AA1B，∴AB1⊥DO，
∵DO∩A1B=O，∴AB1⊥平面A1BD．
证明：（1）作OE⊥AB，交AB于E，连结CE，∵三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且AA1⊥底面ABC，
D为CC1的中点，AB1与A1B相交于点O，
∴O是A1B的中点，E是AB中点，
∴OE
| ∥ |
. |
∴OD∥CE，
∵OD不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴OD∥平面ABC．
（2）由题意知ABB1A1是正方形，∴A1B ⊥AB1，
由（1）知CE⊥AB，又AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴CE⊥AA1，又AA1∩AB=A，
∴CE⊥平面AA1B，∵DO∥CE，∴OD⊥平面AA1B，
又AB1?平面AA1B，∴AB1⊥DO，
∵DO∩A1B=O，∴AB1⊥平面A1BD．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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下列命题中是假命题的是（ ）
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．
| A、① | B、② | C、③ | D、④ |
复数z=
的共轭复数
=（ ）
| 3+4i |
| 1+2i |
| z |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知椭圆C：
设椭圆D：