Question

两个数列{a_n}，{b_n}满足

an+1=an+bn bn+1=4an+bn

，其中a₁=2，b₁=0，则a₁₀等于（　　）

• A、3¹⁰+1
• B、2¹⁰+1
• C、3⁹-1
• D、2⁹-1

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把b_n=a_n+1-a_n代入b_n+1=4a_n+b_n，然后结合b_n+1=a_n+2-a_n+1得到a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），说明
∴{a_n+1+a_n}构成以4为首项，以3为公比的等比数列，求出an+1+an=4•3n-1，依次取n=2，3，4，…可以得到a10=4×38-4×37+4×36-4×35+4×3⁴-4×3³+4×3²-4×3+2，相邻两项合并后利用等比数列求和得到a₁₀的值．

解答： 解：∵

an+1=an+bn    ① bn+1=4an+bn  ②

，
由①得：b_n=a_n+1-a_n  ③，
把③代入②得：b_n+1=4a_n+a_n+1-a_n=a_n+1+3a_n，
再由③得，b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1+3a_n，
整理得：a_n+2=2a_n+1+3a_n，
即a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），
∵a₁=2，b₁=0，
∴a₂=a₁+b₁=2，
∴a₂+a₁=4≠0，
则

an+2+an+1

an+1+an

=3，
∴{a_n+1+a_n}构成以4为首项，以3为公比的等比数列，
∴an+1+an=4•3n-1，
则a₃=4×3-2，
a4=4×32-4×3+2，
a5=4×33-4×32+4×3-2，
…
a10=4×38-4×37+4×36-4×35+4×3⁴-4×3³+4×3²-4×3+2
=8×3⁷+8×3⁵+8×3³+8×3+3-1
=8（3⁷+3⁵+3³+3）+3-1
=8×

3(1-94)

1-9

+3-1
=3⁹-1．
故选：C．

点评：本题考查数列递推式，解答的关键是化两个数列的递推式为一个数列{a_n}的二阶递推式，是中档题．