Question

已知a₁=1，a₂=

5

2

，a_n+1-

5

2

a_n+a_n-1=0，（n≥2），求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：令a_n+1-ka_n=l（a_n-ka_n-1），即a_n+1-（k+l）a_n+kla_n-1=0，则有k+l=

5

2

，kl=1，解得k=

1

2

，l=2，
即有a_n+1-

1

2

a_n=2（a_n-

1

2

a_n-1），由等比数列的通项得到b_n=2^n-1，n＞1，即2a_n-a_n-1=2ⁿ
令2（a_n+t2ⁿ）=a_n-1+t2^n-1，解得t=-

2

3

，再由等比数列的通项，即可求得．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=

5

2

，a_n+1-

5

2

a_n+a_n-1=0，（n≥2），
令a_n+1-ka_n=l（a_n-ka_n-1），即a_n+1-（k+l）a_n+kla_n-1=0，
则有k+l=

5

2

，kl=1，解得k=

1

2

，l=2，
即有a_n+1-

1

2

a_n=2（a_n-

1

2

a_n-1），
令b_n=a_n-

1

2

a_n-1，则b_n+1=2b_n，（n＞1），
则有b_n=b₂•2^n-2=（a₂-

1

2

a₁）•2^n-2=2•2^n-2=2^n-1，
即有a_n-

1

2

a_n-1=2^n-1，即2a_n-a_n-1=2ⁿ，
令2（a_n+t2ⁿ）=a_n-1+t2^n-1，解得t=-

2

3

，
则a_n-

2

3

•2ⁿ=（a₂-

2

3

•2²）•（

1

2

）^n-2=（

5

2

-

8

3

）•（

1

2

）^n-2=-

1

6

•（

1

2

）^n-2，
故a_n=

1，n=1 2 3 •2n- 1 6 •( 1 2 )n-2，n≥2

．

点评：本题考查数列递推式，考查构造等比数列求数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．