题目内容

17．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为y2=6x．

分析 根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，分析可得FN=p，由抛物线的性质分析可得PM⊥l，进而分析可得△MNF为直角三角形，故PM=2p，又由题意△FPM为边长是6的等边三角形，可得2p=6，即可得抛物线的方程．

解答 解：根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，则N（-$\frac{p}{2}$，0），FN=p，
若△FPM为边长是6的等边三角形，即有PF=PM，
则PM⊥l，
又由∠PMF=60°，
则∠PMN=90°-60°=30°，
△MNF为直角三角形，故PM=2p，
又由△FPM为边长是6的等边三角形，即PM=6，
则有2p=6；
即此抛物线的方程为y2=6x；
故答案为：y2=6x．

点评 本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．

练习册系列答案
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