题目内容

9．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow{b}$=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为锐角，求x的取值范围．
（3）若|$\overrightarrow a}$|=2，求与${\overrightarrow a}$垂直的单位向量$\overrightarrow c$的坐标．

分析 （1）根据向量平面列方程解出x，求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标即可得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|；
（2）令cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞＞0，解出x，再去掉$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线的情况即可；
（3）根据|$\overrightarrow{a}$|=2计算x，设$\overrightarrow{c}$=（m，n），列方程组解出即可．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则-x-（2x+3）x=0，解得x=0或x=-2，
当x=0时，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-2，0），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2，
当x=-2时，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（2，-4），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$．
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，即2x+3-x2＞0，∴-1＜x＜3，
由（1）可知当x=0时，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，此时$\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为0，不符合题意，舍去，
∴x的取值范围是（-1，0）∪（0，3）．
（3）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，∴1+x2=4，解得x=±$\sqrt{3}$，
设$\overrightarrow{c}$=（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，
∴当x=$\sqrt{3}$时，$\left\{\begin{array}{l}{m+\sqrt{3}n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
当x=-$\sqrt{3}$时，$\left\{\begin{array}{l}{m-\sqrt{3}n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以当x=$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{c}$的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
当x=-$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{c}$的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，属于中档题．

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