Question

12．已知$sinx+siny=\frac{1}{3}$，求μ=siny+cos²x的最值．

Answer 1

分析 由题意得siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，得到sinx的取值范围，把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最值．

解答 解：由已知条件有siny=$\frac{1}{3}$-sinx且siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]（结合sinx∈[-1，1]）
得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，
而μ=siny+cos²x=$\frac{1}{3}$-sinx+cos²x═$\frac{4}{3}$-sin²x-sinx，
令t=sinx（-$\frac{2}{3}$≤t≤1），
则原式=-t²-t+$\frac{4}{3}$=-${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{19}{12}$，（-$\frac{2}{3}$≤t≤1）
根据二次函数的性质得：
当t=-$\frac{1}{2}$即sinx=-$\frac{1}{2}$时，原式取得最大值$\frac{19}{12}$，
当t=1即sinx=1时，原式取得最小值-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的有界性，二次函数的性质，求sinx的取值范围是易错点．