Question

2．已知焦点在x轴上，渐近线方程为$y=±\frac{3}{4}x$的双曲线和曲线$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的离心率之积为1，则b的值 为（　　）

• A． $\frac{6}{5}$
• B． 3
• C． 3或4
• D． $\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线方程，可得$\frac{b'}{a}$=$\frac{3}{4}$，再由离心率公式可得双曲线的离心率，由条件可得椭圆的离心率，讨论椭圆焦点位置，解方程即可得到所求b的值．

解答 解：设焦点在x轴上的双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{b{'}^{2}}$=1（a＞0，b'＞0），
渐近线方程为$y=±\frac{3}{4}x$，可得$\frac{b'}{a}$=$\frac{3}{4}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b'}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
由题意可得曲线$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的离心率为$\frac{4}{5}$．
可得当b＞2时，有$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4}}{b}$=$\frac{4}{5}$，解得b=$\frac{10}{3}$；
当0＜b＜2时，有$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=$\frac{4}{5}$，解得b=$\frac{6}{5}$．
综上可得b=$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线和椭圆的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．