Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，（a为常数，e为自然对数的底，e≈2.71828）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞0在区间（0，

1

2

）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时求出f′（x），然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）对任意的f（x）＞0在区间（0，

1

2

）上恒成立，等价于对x∈（0，

1

2

），成立，构造函数转化为函数最值解决，利用导数即可求得最值；

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-

2

x

，
由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；
（2）对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令g（x）=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
则g′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令h（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），则h′（x）=

2(x-1)

x2

＜0，
故h（x）在（0，

1

2

）上为减函数，
于是h（x）＞h（

1

2

）=2-2ln2＞0，
从而，g′（x）＞0，于是g （x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以g（x）＜g（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值为2-4ln2．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于中档题．