Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：分离参数，构造函数，求出函数再闭区间上的最值即可．

解答： 解：∵当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，
即

1

3

x³-x²-3x＜-

9

2

x-

c

2

，在x∈[-2，2]时恒成立，
即c＜-

2

3

x³+2x²-3x，
令g（x）=-

2

3

x³+2x²-3x，
∴g'（x）=-2x²+4x-3，
∵g'（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0恒成立，
∴g（x）在∈[-2，2]上单调递减，
故当x∈[-2，2]时，[g（x）]_min=g（2）=-

10

3

∴c＜-

10

3

，
故答案为：c＜-

10

3

，

点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．