正四面体ABCD的棱长为4.E为棱AB的中点.过E作此正四面体的外接球的截面.则截面面积的最小值是( )A．4πB．8πC．12πD．16π 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（　　）

A．

4π

B．

8π

C．

12π

D．

16π

分析根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．

解答解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2$\sqrt{2}$，
可得外接球半径R满足2R=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$，R=$\sqrt{6}$．
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=$\sqrt{{R}^{2}-2}=2$．
得到截面圆的面积最小值为S=πr²=4π．
故选：A．

点评本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．

练习册系列答案

18．为了解高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名学生，得到如下列联表：

	男	女	总计
喜欢	40	20	60
不喜欢	20	30	50
总计	60	50	110

由${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$算得${K^2}=\frac{{110×{{（{40×30-20×20}）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$．
附表：

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

	A．	在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”
	B．	在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”
	C．	有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”
	D．	有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”

15．三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

B．

$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

C．

$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

D．

$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

2．已知函数f（x）=|log₄x|，实数m、n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m²，n]的最大值为2，则$\frac{n}{m}$=16．

12．函数$y=2\sqrt{x+3}+5\sqrt{1-x}$的最大值为2$\sqrt{29}$．

19．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，-2），点B（1，-1），P为圆x²+y²=2上一动点，则$\frac{{|\overrightarrow{PB}|}}{{|\overrightarrow{PA}|}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．