题目内容
12．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠$\frac{π}{2}$）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为$α=-\frac{3π}{4}$，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得${t}^{2}-6\sqrt{2}t+2=0$，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．
解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．
∴直线l的普通方程为y=tanα•（x-1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0，得ρ2cos2θ-4ρsinθ=0，
∴x2-4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=-1，直线l的倾斜角为$α=-\frac{3π}{4}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t为参数）$，
代入x2=4y，得${t}^{2}-6\sqrt{2}t+2=0$，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
又P（1，0），则|PQ|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$|=3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．
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