Question

14．已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量$\overrightarrow{{c}_{n}}$=（a_n，a_n+1），$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（n，n+1），n∈N^*．下列命题中真命题是（　　）

• A． 若任意n∈N^*总有$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{b}_{n}}$成立，则数列{a_n}是等比数列
• B． 若任意n∈N^*总有$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{{b}_{n}}$成立，则数列{a_n}是等比数列
• C． 若任意n∈N^*总有$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{b}_{n}}$成立，则数列{a_n}是等差数列
• D． 若任意n∈N^*总有$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{{b}_{n}}$成立，则数列{a_n}是等差数列

Answer 1

分析 根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，
从而判断数列{a_n}是否为等差或等比数列．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{{c}_{n}}$=（a_n，a_n+1），$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（n，n+1），n∈N^*；
∴当$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{{b}_{n}}$，（n+1）a_n-na_n+1=0，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$；
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•a₁
=na₁，
∴数列{a_n}为等差数列，
∴D正确，B错误；
当$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{{b}_{n}}$时，na_n+（n+1）a_n+1=0，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{n}{n+1}$；
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=-$\frac{n-1}{n}$•（-$\frac{n-2}{n-1}$）•（-$\frac{n-3}{n-2}$）•…•（-$\frac{1}{2}$）•a₁
=$\frac{{（-1）}^{n-1}}{n}$•a₁；
∴数列{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，
∴A、C错误．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了等差与等比数列的应用问题，是中档题．