Question

已知A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，sinβ≠0，sinα-kcosβ=0，则k=（　　）

• A、

  2

• B、-

  2

• C、

  2

  或-

  2

• D、以上都不对

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标公式，以及两角和差的正弦公式和二倍角公式，化简即可得到所求值．

解答： 解：A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，
则

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，
即有

sinα(sin(α-2β)+sin(α+2β))

sin(α-2β)sin(α+2β)

=2，
即sinα（sinαcos2β-cosαsin2β+sinαcos2β+cosαsin2β）
=2（sinαcos2β-cosαsin2β）（sinαcos2β+cosαsin2β），
则有2sin²αcos2β=2（sin²α-sin²2β），
即有sin²α（1-cos2β）=sin²2β，
则有2sin²αsin²β=4sin²βcos²β，
由于sinβ≠0，则sinα=±

2

cosβ，
则k=±

2

．
故选C．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查三角函数的化简，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查运算化简能力，属于中档题．