Question

观察下列等式
1=1                     第一个式子
2+3+4=9                 第二个式子
3+4+5+6+7=25            第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
照此规律下去
（Ⅰ）写出第6个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）第6个等式6+7+8+…+16=11²；
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²．再用数学归纳法证明．

解答： 解：（Ⅰ）第6个等式6+7+8+…+16=11²…（2分）
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²…（4分）
证明：（1）当n=1时显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N₊）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）²…（6分）
那么当n=k+1时，左边=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=（2k-1）²+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=[2（k+1）-1]²，
而右边=[2（k+1）-1]²，
这就是说n=k+1时等式也成立．…（10分）
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N₊都成立．…（12分）

点评：本题考查数学归纳法，考查观察、猜想能力及论证推理能力，猜想出结论是关键，属于中档题．