Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A；
（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2

3

，求a的值．
（3）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将b，sinA，以及已知面积相等求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值；
（3）由A的度数求出B+C的度数，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用和差化积公式变形，根据余弦函数的性质即可求出范围．

解答： 解：（1）∵b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵S=2

3

，b=2，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

2

c=2

3

，即c=4，
则a²=b²+c²-2bccosA=4+16-8=12，即a=2

3

；
（3）∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=2sin

π

3

cos（B-

π

3

）=

3

cos（B-

π

3

），
∵0＜B＜

2π

3

，即-

π

3

＜B-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（B-

π

3

）≤1，即

3

2

＜

3

cos（B-

π

3

）≤

3

，
则sinB+sinC的范围为（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查余弦定理，三角形面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．