Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R，e为自然对数的底数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，函数g（x）=（x-m）f（x）-e^x+x²+x在x∈（2，+∞）上为增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导数（x）=e^x-a
通过当a≤0时，当a＞0时，分别判断函数的单调性．
（Ⅱ）当a=1时，化简g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，通过g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，转化g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，推出m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，通过构造新函数利用导数求出函数的最值，推出结果即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈R，f'（x）=e^x-a
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在R上为增函数；
当a＞0时，由f'（x）=0得x=lna
则：当x∈（-∞，lna）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（-∞，lna）上为减函数，
当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（lna，+∞）上为增函数．…（6分）
（Ⅱ）当a=1时，g（x）=（x-m）（e^x-x）-e^x+x²+x，
∵g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，∴g'（x）=xe^x-me^x+m+1≥0在x∈（2，+∞）恒成立，
即m≤

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）恒成立，
令h(x)=

xex+1

ex-1

，x∈（2，+∞），h′(x)=

(ex)2-xex-2ex

(ex-1)2

=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

，
令L（x）=e^x-x-2，L'（x）=e^x-1＞0在x∈（2，+∞）恒成立，
即L（x）=e^x-x-2在x∈（2，+∞）单调递增，
即L（x）＞L（2）=e²-4＞0，∴h'（x）＞0
即h(x)=

xex+1

ex-1

在x∈（2，+∞）单调递增，h(x)＞h(2)=

2e2+1

e2-1

所以m≤

2e2+1

e2-1

．       …（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．