Question

已知函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）-F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）-2有4个零点．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（-x）=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确
（3）|log₂m|＞|log₂n|，a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正确
（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，
∴|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；
①不对
（2）∵F（-x）=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=F（x）
∴函数F（x）是偶函数；
故②正确
（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，
∴|log₂m|＞|log₂n|
∴a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，
即F（m）＜F（n）成立；
故F（m）-F（n）＜0成立；
所以③正确
（4）

∵f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，
∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增
∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，
故x＞0时，F（x）与y=-2有2个交点，
∵函数F（x）是偶函数
∴x＜0时，F（x）与y=-2有2个交点
故当a＞0时，函数y=F（x）-2有4个零点．
所以④正确，

点评：本题综合考察了函数的性质，运用图象解决问题，对于函数式子与性质的结合，关键是理解，有一定的难度．