Question

已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有l和3两个零点，且y=f（2-x）与y=f （7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[0，2013]上的零点个数为（　　）

• A、402
• B、403
• C、404
• D、405

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据y=f（2-x）与y=f （7+x）都是偶函数，得到函数f（x）=f（10+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．

解答： 解：∵y=f（2-x）与y=f （7+x）都是偶函数，
∴f（2-x）=f（2-x），f （7+x）=f（7-x），
即f（x）关于x=2和x=7对称．
∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），
∵f（7-x）=f（7+x），
∴f（4-x）=f（10+x） 
∴f（x）=f（10+x），
即10是函数f（x）的一个周期
∵f（7-x）=f（7+x），
函数f（x）在[4，7]上无根．
∴函数f（x）在[7，10]上无根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3，
f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式 
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202个 
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202个 
∴方程f（x）=0在闭区间[0，2013]上根的个数为404个．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．