Question

已知x0，x0+

π

4

是函数f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx(ω＞0)的相邻的零点．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）若对任意的x∈[-

π

6

，

π

8

]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数恒成立问题

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的零点求出函数的周期，即可求出ω，然后求解f(

π

12

)的值．
（2）转化绝对值不等式推出m的最值与f（x）的最值的关系，通过x的范围求出相位的范围利用正弦函数的最值求解即可．

解答： 解：（1）f(x)=

1+cos(2ωx- π 3 )

2

-

1-cos2ωx

2

=

3

2

sin(2ωx+

π

3

)．
由x0，x0+

π

4

是函数f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx(ω＞0)的相邻的零点，
∴T=

π

2

，∴ω=2，
∴f(x)=

3

2

sin(4x+

π

3

)，
∴f(

π

12

)=

3

4

…（6分）
（2）|f（x）-m|≤1?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∴

m≥f(x)max-1 m≤f(x)min+1

∵x∈[-

π

6

，

π

8

]
∴-

π

3

≤4x+

π

3

≤

5π

6

∴-

3

4

≤f(x)≤

3

2

∴m∈[

3

2

-1，

1

4

]…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的解析式的求法，函数恒成立问题的应用，考查转化思想以及计算能力．