Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

5

，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为

4

5

的直线l交C于A、B两点．当m=0时，

PA

•

PB

=-

41

2

（1）求C的方程；
（2）求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）因为离心率为

3

5

，所以

b

a

=

4

5

．当m=0时，l的方程为y=

4

5

x，代入：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并整理得x²=

a2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）l的方程为x=

5

4

y+m，代入

x2

25

+

y2

16

=1，得25y²+20my+8（m²-25）=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|PA|²=（x₁-m）²+y12=

41

16

y12，同理|PB|²=

41

16

y22，由此能证明|PA|²+|PB|²是定值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为离心率为

3

5

，所以

b

a

=

4

5

．
当m=0时，l的方程为y=

4

5

x，
代入：

x2

a2

+

y2

b2

=1，并整理得x²=

a2

2

．…（2分）
设A（x₀，y₀），则B（-x₀，-y₀），P（m，0），

PA

•

PB

=-x02-y02=-

41

25

x02=-

41

25

•

a2

2

．
又因为

PA

•

PB

=-

41

2

，所以a²=25，b²=16，
椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（5分）
（Ⅱ）l的方程为x=

5

4

y+m，代入

x2

25

+

y2

16

=1，
并整理得25y²+20my+8（m²-25）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|PA|²=（x₁-m）²+y12=

41

16

y12，同理|PB|²=

41

16

y22．…（8分）
则|PA|²+|PB|²=

41

16

（y12+y22）=

41

16

[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]
=

41

16

[（-

4m

5

）²-

16(m2-25)

25

]=41．
所以，|PA|²+|PB|²是定值．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．