Question

数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，且a₁=2，S_n是a_n的前n和．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈；
（2）求a_n；
（3）求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，且a₁=2，利用递推思想能求出a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈．
（2）由（1）猜想：a_4k-3=2，a_4k-2=8k-5，a_4k-1=0，a_4k=8k-3，再利用数学归纳法证明．
（3）当n=4k时，Sn=2k+(4k2-k)+0+(4k2+k)；当n=4k-1时，S_n=S_4k-1=S_4k-a_4k；当n=4k-2时，S_n=S_4k-2=S_4k-a_4k-a_4k-1；当n=4k-3时，S_n=S_4k-3=S_4k-a_4k-a_4k-1-a_4k-2，由此利用分类讨论思想能求出S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，且a₁=2，
∴a₂-2=1，解得a₂=3，
a₃+3=3，解得a₃=0，
a₄-0=5，解得a₄=5，
a₅+5=7，解得a₅=2，
a₆-2=9，解得a₆=11，
a₇+11=11，解得a₇=0，
a₈-0=13，解得a₈=13．…（2分）
（2）由（1）猜想：a_4k-3=2，a_4k-2=8k-5，a_4k-1=0，a_4k=8k-3．…（3分）
用数学归纳法证明：
①n=1，2，3，4时已经验证．
②n=4k（k≥1）时，猜想如上，
则a4k+1+(-1)4ka4k=2（4k）-1，即a_4k+1=8k-1-（8k-3）=2，
a4k+2+(-1)4k+1a4k+1=2(4k+1)-1，
即a_4k+2=2（4k+1）-1+2=8（k+1）-5，…（5分）
a4k+3+(-1)4k+2a4k+2=2(4k+2)-1，
即a_4k+3=2（4k+2）-1-（8k+3），
a4k+4+(-1)4k+3a4k+3=2(4k+3)-1，
即a_4k+4=2（4k+3）-1-0=8（k+1）-3．
由①、②可知，当n=4k+1时，猜想成立．…（7分）
从而an=

2，n=4k-3，n∈N* 2n-1，n=4k-2，k∈N* 0，n=4k-1，k∈N* 2n-3，n=4k，k∈N*

．…（8分）
（3）当n=4k时，Sn=2k+(4k2-k)+0+(4k2+k)
=8k²+2k=

n2+n

2

，…（10分）
当n=4k-1时，S_n=S_4k-1=S_4k-a_4k
=8k²+2k-（8k-3）
=8k²-6k+3
=

n2-n+4

2

，…（11分）
当n=4k-2时，S_n=S_4k-2=S_4k-a_4k-a_4k-1
=8k²+2k-（8k-3）
=8k²-6k+3
=

n2+n+4

2

，…（13分）
当n=4k-3时，S_n=S_4k-3=S_4k-a_4k-a_4k-1-a_4k-2
=8k²+2k-（8k-3）-（8k-5）
=8k²-14k+8
=

n2-n+4

2

．…（15分）
综合上述，S_n=

n2-n+4 2 ，n=4k-3，k∈N* n2+n+4 2 ，n=4k-2，k∈N* n2-n+4 2 ，n=4k-1，k∈N* n2+n 2 ，n=4k，k∈N*

．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意数学归纳法和分类讨论思想的合理运用．