Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=

x2-a

x

，由f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，则f′（2）=

3

2

，a=1，此时f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）由f′（x）=

x2-a

x

，a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=

a

，讨论①若0＜

a

≤1，②若1＜

a

＜e，③若

a

≥e从而综合得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

x2-a

x

，
由f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，则f′（2）=

3

2

，a=1，
此时f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

，
令f′（x）=0得x=1，
f′（x），f（x）的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

所以f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．      
（Ⅱ）由f′（x）=

x2-a

x

，a＞0及定义域为（0，+∞），
令f′（x）=0，得x=

a

．
①若0＜

a

≤1，即0＜a≤1时，在[1，e]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（e）=

e2

2

-a，
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，
f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（

a

，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因此在[1，e]上，f（x）_max=max{f（1），f（e）}，
f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

-a，令

1

2

=

e2

2

-a，解得a=

e2-1

2

，
当1＜a＜

e2-1

2

时，

e2

2

-a＞

1

2

，所以f（x）_max=

e2

2

-a；
当

e2-1

2

≤a＜e²时，

1

2

＞

e2

2

-a，所以f（x）_max=f（1）=

1

2

．          
③若

a

≥e，即a≥e²时，在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）_max=f（1）=

1

2

，
综上，当0＜a＜

e2-1

2

时f（x）_max=

e2

2

-a；当a≥

e2-1

2

时，f（x）_max=

1

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．