Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=1，a₂=2，S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），若不等式λS_n＞a_n恒成立，则实数λ的取值范围是λ＞1．

Answer 1

分析 由题知，当n≥2 时，有S_n+1=a_n+2-a_n+1，S_n-1+1=a_n+1-a_n，两式相减得a_n+2=2a_n+1，利用等比数列的通项公式与求和公式可得a_n，S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：由题知，当n≥2 时，有S_n+1=a_n+2-a_n+1，S_n-1+1=a_n+1-a_n，
两式相减得a_n+2=2a_n+1，
又a₁=1，a₂=2，$\therefore$ a₃=4，故a_n+1=2a_n 对任意n∈N^* 成立，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，${S_n}={2^n}-1$，
∴$λ＞\frac{a_n}{S_n}=\frac{1}{{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}$恒成立只需$λ＞\frac{1}{{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}$的最大值，
当n=1时，右式取得最大值1，∴λ＞1．
故答案为：λ＞1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．