Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}-4x+1，\;\;x≤0\\ x+1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞0.\end{array}\right.$
（1）计算f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=f（x）+c，若函数g（x）有三个零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（${log_2}\frac{1}{4}$）的值，再求出f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））的值即可；
（2）通过讨论x的范围结合二次函数的性质求出函数的单调区间即可；
（3）画出f（x）的图象，结合图象求出c的范围即可．

解答 解：（1）由已知得f（${log_2}\frac{1}{4}$）=f（-2）=-2×（-2）²-4×（-2）+1=1．
∴f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））=f（1）=1+1=2…（3分）
（2）当x≤0时，函数f（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3．
根据抛物线的性质知，f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增，在区间[-1，0]上单调递减；
当x＞0时，函数f（x）=x+1，显然f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
综上，f（x）的单调增区间是（-∞，-1）和（0，+∞），单调减区间是[-1，0]…（7分）
（3）作出f（x）的图象，如图：

函数g（x）有三个零点，即方程f（x）+c=0有三个不同实根，
又方程f（x）+c=0等价于方程f（x）=-c，
∴当f（x）的图象与直线y=-c有三个交点时，
函数g（x）有三个零点．
数形结合得，c满足，1＜-c＜3，即-3＜c＜-1．
因此，函数g（x）有三个零点，实数c的取值范围是（-3，-1）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质以及数形结合思想，是一道中档题．