Question

13．已知函数f（x）=mlnx+8x-x²在[3，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-8）
• B． （-∞，-8]
• C． （-∞，-6）
• D． （-∞，-6]

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到m≤2x²-8x在[3，+∞），令h（x）=2x²-8x，x∈[3，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+8-2x=$\frac{-{2x}^{2}+8x+m}{x}$，
令g（x）=-2x²+8x+m，
若函数f（x）=mlnx+8x-x²在[3，+∞）上单调递减，
则-2x²+8x+m≤0在[3，+∞）成立，
则m≤2x²-8x在[3，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x²-8x，x∈[3，+∞），
h′（x）=4x-8＞0，
故h（x）在[3，+∞）递增，
故h（x）_min=h（3）=-6，
故m≤-6，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．