Question

9．已知m＞0，n＞0，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求m²+$\frac{n^2}{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值符号，利用函数的单调性求解函数的最小值．
（2）通过函数的最小值的表达式，利用基本不等式求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-m+n，x≤-m}\\{-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}}\\{3x+m-n，x≥\frac{n}{2}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）在$（-∞，\frac{n}{2}）$是减函数，在$（\frac{n}{2}，+∞）$是增函数．
∴当$x=\frac{n}{2}$时，f（x）取最小值$f（\frac{n}{2}）=m+\frac{n}{2}$． …．（5分）
（2）由（1）知，f（x）的最小值为$m+\frac{n}{2}$，∴$m+\frac{n}{2}=2$．∵m，n∈R⁺，
${m}^{2}+\frac{{n}^{2}}{4}=\frac{1}{2}•2（{m}^{2}+\frac{{n}^{2}}{4}）≥\frac{1}{2}（m+\frac{n}{2}）^{2}$=2．
当且仅当$m=\frac{n}{2}$，即m=1，n=2时，取等号，
∴m²+$\frac{n^2}{4}$的最小值为2．            …（10分）

点评 本题考查绝对值的化简求解，函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．