Question

4．下列说法中正确的是（　　）
①如果α是第一象限的角，则角-α是第四象限的角
②函数y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
③已知角α的终边上的点P的坐标为（3，-4），则sinα=-$\frac{4}{5}$
④已知α为第二象限的角，化简tanα$\sqrt{1-{{sin}^2}α}$=sinα．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 对于①，利用角α与角-α关于x轴对称，即可判断①正确；
对于②，利用正弦函数的图象与性质可知函数y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]，可判断②错误；
对于③，由任意角的三角函数的定义可知，点P的坐标为（3，-4）时sinα=$\frac{-4}{\sqrt{{3}^{2}{+（-4）}^{2}}}$=-$\frac{4}{5}$，可判断③正确；
对于④，因为α为第二象限的角，利用同角三角函数间的关系可知$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=-cosα，可判断④错误．

解答 解：对于①，由于角α与角-α关于x轴对称，因此若α是第一象限的角，则角-α是第四象限的角，故①正确；
对于②，函数y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]，而不是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，故②错误；
对于③，由于角α的终边上的点P的坐标为（3，-4），则sinα=$\frac{-4}{\sqrt{{3}^{2}{+（-4）}^{2}}}$=-$\frac{4}{5}$，故③正确；
对于④，因为α为第二象限的角，所以$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=-cosα，因此tanα$\sqrt{1-{{sin}^2}α}$=$\frac{sinα}{cosα}$•（-cosα）=-sinα，故④错误．
综上所述，以上说法中正确的是：①③，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数间的关系及正弦函数的性质，属于中档题．