Question

9．两非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，且对任意的x∈R，都有|$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$|，若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{c}$|，0＜λ＜1，则$\frac{|\overrightarrow{c}-λ\overrightarrow{a}-（1-λ）\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．

Answer 1

分析 由向量的平方即为模的平方，化简整理可得x²$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²≥0恒成立，可得4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-4$\overrightarrow{a}$²•（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²）≤0，（θ为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角），即有（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≤0，可得cosθ=$\frac{1}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可设|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，C在单位圆上运动，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$可得P在线段AB上运动（不含端点），求出AB的方程，运用点到直线的距离公式可得O到AB的距离，即可得到所求最值和范围．

解答 解：对任意的x∈R，都有|$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$|，
即有（$\overrightarrow{b}$+x$\overrightarrow{a}$）²≥（$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$）²，
即为$\overrightarrow{b}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x²$\overrightarrow{a}$²≥$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²，
由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得x²$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²≥0恒成立，
可得4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-4$\overrightarrow{a}$²•（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²）≤0，（θ为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角），
即为|$\overrightarrow{a}$|⁴•cos²θ-|$\overrightarrow{a}$|⁴•cosθ+$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{a}$|⁴≤0，
即有（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≤0，（cosθ-$\frac{1}{2}$）²≥0，
可得cosθ=$\frac{1}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可设|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，C在单位圆上运动，
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$可得P在线段AB上运动（不含端点），
直线AB的方程为y-0=-$\sqrt{3}$（x-2），
即为$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
由原点到直线AB的距离为$\frac{|0+0-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
即有单位圆上的点到线段AB的距离的最小值为$\sqrt{3}$-1，最大值为$\sqrt{3}$+1，
则$\frac{|\overrightarrow{c}-λ\overrightarrow{a}-（1-λ）\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}|}{2}$的范围是[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]．

点评 本题考查向量数量积的运用，注意运用性质：向量的平方即为模的平方，考查恒成立思想转化为二次不等式恒成立问题的解法，以及数形结合的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题．