如图.水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm.容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10$\sqrt{7}$cm.容器Ⅱ的两底面对角线EG.E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水.水深均为12cm．现有一根玻璃棒l.其长度为40cm．(容器厚度.玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中.l的一端置于点A处.另一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10$\sqrt{7}$cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E₁G₁的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC₁上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG₁上，求l没入水中部分的长度．

分析（1）设玻璃棒在CC₁上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC₁⊥平面ABCD，CC₁⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．
（2）设玻璃棒在GG₁上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于点Q，推导出EE₁G₁G为等腰梯形，求出E₁Q=24cm，E₁E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=$\frac{3}{5}$，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．

解答解：（1）设玻璃棒在CC₁上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，∴CC₁⊥平面ABCD，
又∵AC?平面ABCD，∴CC₁⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM²=AC²+MC²，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{NP}{MC}$，$\frac{AN}{40}=\frac{12}{30}$，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
（2）设玻璃棒在GG₁上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E₁EGG₁中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E₁G₁，交E₁G₁于点Q，
∵EFGH-E₁F₁G₁H₁为正四棱台，∴EE₁=GG₁，EG∥E₁G₁，
EG≠E₁G₁，
∴EE₁G₁G为等腰梯形，画出平面E₁EGG₁的平面图，
∵E₁G₁=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E₁Q=24cm，
由勾股定理得：E₁E=40cm，
∴sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，sin∠EGM=sin∠EE₁G₁=$\frac{4}{5}$，cos$∠EGM=-\frac{3}{5}$，
根据正弦定理得：$\frac{EM}{sin∠EGM}$=$\frac{EG}{sin∠EMG}$，∴sin$∠EMG=\frac{7}{25}$，cos$∠EMG=\frac{24}{25}$，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=$\frac{3}{5}$，
∴EN=$\frac{NP}{sin∠GEM}$=$\frac{12}{\frac{3}{5}}$=20cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．