题目内容
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{bn}是等比数列．
（1）若cn=（an+1-an）bn（n∈N*），求证：{cn}为等比数列；
（2）设cn=anbn（n∈N*），其中an是公差为2的整数项数列，bn=(
)n，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且当n≥17时，{cn}是递减数列，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{cn}使得{
}是等比数列，数列{dn}的前n项和为
，且数列{dn}满足：对任意n≥2，n∈N*，或者dn=0恒成立或者存在正常数M，使
＜|dn|＜M恒成立，求证：数列{cn}为等差数列．
（1）若cn=（an+1-an）bn（n∈N*），求证：{cn}为等比数列；
（2）设cn=anbn（n∈N*），其中an是公差为2的整数项数列，bn=(
| 12 |
| 13 |
（3）若数列{cn}使得{
| anbn |
| cn |
| an-cn |
| cn |
| 1 |
| M |
考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）设等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠0，由于cn=（an+1-an）bn=dbn，即可证明
为非0常数；
（2））由于an是公差为2的整数项数列，可得an=a1+2（n-1）∈Z．利用cn=anbn（n∈N*），bn=(
)n，可得cn=(a1+2n-2)•(
)n．利用c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，可得：a1＜-
．又当n≥17时，{cn}是递减数列，可得cn＞cn+1，得到a1＞26-2n，因此a1＞26-2×17=-8．可得：-8＜a1＜-
，又a1∈Z，可得a1=-7，-6，-5．
即可得出an．
（3））（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为
=0，cn=an，利用数列{an}是公差不为零的等差数列，即可得出结论．
（ii）n≥2，dn=
-
=
-
．由数列{cn}使得{
}是等比数列，可得
×
=k为常数，
=s•
（s为非0常数），得到dn=t•
．
由于n≥2，存在正常数M，使
＜|dn|＜M恒成立．可得n≥2，存在正常数M，使
＜|
|＜M恒成立，于是存在常数p使得cn=pan，而数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．
| cn+1 |
| cn |
（2））由于an是公差为2的整数项数列，可得an=a1+2（n-1）∈Z．利用cn=anbn（n∈N*），bn=(
| 12 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
| 30 |
| 7 |
| 30 |
| 7 |
即可得出an．
（3））（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为
| an-cn |
| cn |
（ii）n≥2，dn=
| an-cn |
| cn |
| an-1-cn-1 |
| cn-1 |
| an |
| cn |
| an-1 |
| cn-1 |
| anbn |
| cn |
| anbn |
| cn |
| cn-1 |
| an-1bn-1 |
| an |
| cn |
| an-1 |
| cn-1 |
| an |
| cn |
由于n≥2，存在正常数M，使
| 1 |
| M |
| 1 |
| M |
| tan |
| cn |
解答：
解：（1）设等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠0，
∵cn=（an+1-an）bn=dbn，
则
=
=q≠0，
因此{cn}为等比数列；
（2）∵an是公差为2的整数项数列，∴an=a1+2（n-1）∈Z．
∵cn=anbn（n∈N*），bn=(
)n，
∴cn=(a1+2n-2)•(
)n．
∵c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，
∴由c5＞2c4可得，(a1+8)•(
)5＞2×(a1+6)•(
)4，解得a1＜-
，
同理可得a1＜-
，a1＜-
，a1＜
．
综上可得：a1＜-
．
又当n≥17时，{cn}是递减数列，
∴cn＞cn+1，
∴(a1+2n-2)•(
)n＞(a1+2n)•(
)n+1，
化为a1＞26-2n，
∴a1＞26-2×17=-8．
综上可得：-8＜a1＜-
，
又a1∈Z，∴a1=-7，-6，-5．
∴an=2n-9，或2n-8，或2n-7．
（3）（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为
=0，cn=an，
∵数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．
（ii）∵当n≥2时，dn=
-
=
-
．
∵存在数列{cn}使得{
}是等比数列，
∴
×
=k为常数，
∴
=s•
（s为非0常数），∴dn=t•
．
∵n≥2，存在正常数M，使
＜|dn|＜M恒成立，
∴n≥2，存在正常数M，使
＜|
|＜M恒成立，
∴存在常数p使得cn=pan，而数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．
∵cn=（an+1-an）bn=dbn，
则
| cn+1 |
| cn |
| dbn+1 |
| dbn |
因此{cn}为等比数列；
（2）∵an是公差为2的整数项数列，∴an=a1+2（n-1）∈Z．
∵cn=anbn（n∈N*），bn=(
| 12 |
| 13 |
∴cn=(a1+2n-2)•(
| 12 |
| 13 |
∵c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，
∴由c5＞2c4可得，(a1+8)•(
| 12 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
| 30 |
| 7 |
同理可得a1＜-
| 16 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
综上可得：a1＜-
| 30 |
| 7 |
又当n≥17时，{cn}是递减数列，
∴cn＞cn+1，
∴(a1+2n-2)•(
| 12 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
化为a1＞26-2n，
∴a1＞26-2×17=-8．
综上可得：-8＜a1＜-
| 30 |
| 7 |
又a1∈Z，∴a1=-7，-6，-5．
∴an=2n-9，或2n-8，或2n-7．
（3）（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为
| an-cn |
| cn |
∵数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．
（ii）∵当n≥2时，dn=
| an-cn |
| cn |
| an-1-cn-1 |
| cn-1 |
| an |
| cn |
| an-1 |
| cn-1 |
∵存在数列{cn}使得{
| anbn |
| cn |
∴
| anbn |
| cn |
| cn-1 |
| an-1bn-1 |
∴
| an |
| cn |
| an-1 |
| cn-1 |
| an |
| cn |
∵n≥2，存在正常数M，使
| 1 |
| M |
∴n≥2，存在正常数M，使
| 1 |
| M |
| tan |
| cn |
∴存在常数p使得cn=pan，而数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．
点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其性质，考查了推理能力和计算能力，考查了灵活解决问题的能力，属于难题．
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