Question

19．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A=$\frac{π}{6}$，D是BC边上一点（D与B，C不重合），且|${\overrightarrow{AB}}$|²=|${\overrightarrow{AD}}$|²+$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$，若2m$\overrightarrow{BO}$=$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}$，则m=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=${|\overrightarrow{AD}|}^{2}$+$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$判断△ABC为等腰三角形，从而求出角B的值，再利用平面向量的线性运算与数量积运算，结合正弦定理、三角恒等变换化简m$\overrightarrow{BO}$=$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}$，即可求出m的值．

解答 解：如图所示，

作高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p-x，BE=p+q-x，
则AD²=AE²+DE²=h²+（p-x）²，AB²=AE²+BE²=h²+（p+q-x）²，
所以AB²-AD²=（p+q-x）²-（p-x）²=2pq-2xq+q²，
∵${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=${|\overrightarrow{AD}|}^{2}$+$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$，
∴pq=$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$=q（q+2p-2x），
∵q≠0，∴p=q+2p-2x，
∴x=$\frac{p+q}{2}$=$\frac{BC}{2}$，
即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形；
∵顶角为$\frac{π}{6}$，∴底角B=$\frac{5π}{12}$；
又 $\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EO}$，代入2m$\overrightarrow{BO}$=$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}$中，
得2m（$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EO}$）=$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}$$\overrightarrow{BC}$，
由$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{BC}$=0，两边同乘以$\overrightarrow{BC}$，
化简得：2m（$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\frac{cosC}{sinA}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
即m${\overrightarrow{BC}}^{2}$=$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\frac{cosC}{sinA}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
∴m${\overrightarrow{BC}}^{2}$=$\frac{cosA}{sinC}$|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cosB+$\frac{cosC}{sinA}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
即m•a²=$\frac{cosA}{sinC}$•c•a•cosB+$\frac{cosC}{sinA}$•a²，
由正弦定理化简得m•sin²A=$\frac{cosA}{sinC}$•sinC•sinA•cosB+$\frac{cosC}{sinA}$•sin²A，
由sinA≠0，两边同时除以sin²A得：m=$\frac{cosAcosB+cosC}{sinA}$，
∴m=$\frac{cosAcosB+cos[π-（A+B）]}{sinA}$
=$\frac{cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB}{sinA}$
=sinB=sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量，正弦定理以及两角和与差的余弦函数公式应用问题，也考查了等腰三角形的判断问题，是较难的题目．